Информация о жизни и творчестве. Рефераты, статьи, фото.
Золотое сечение
Золотое сечение –
морфологический закон живой природы

Борис Розин

 
 

"Закон золотого деления должен быть диалектической необходимостью"
Академик А.Ф.Лосев

 
 
1. Введение

Феномен золотого сечения известен человечеству очень давно.

Его тайну пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса.
Классическими проявлениями золотого сечения являются предметы обихода, скульптура и архитектура [1, 2, 3, 4, 5], математика [6, 7, 8], музыка [9 10, 11] и эстетика [12, 13, 14, 15, 16]. В предыдущем столетии с расширением области знаний человечества резко увеличилось количество сфер, где наблюдается феномен золотой пропорции. Это биология и зоология [17, 18, 19], экономика [20, 21], психология [22, 23, 24], кибернетика [7, 25], теория сложных систем [26, 27], и даже геология [28, 29] и астрономия [30].

Ежегодно издаются несколько книг посвященных этой проблеме, постоянно расширяя область приложения золотого сечения. Авторы этих исследований связывают золотое сечение с такими несовместимыми, на первый взгляд понятиями, как красота, асимметрия, рекурсия, самоорганизация и пропорция. За последние годы появились интересные интернет-сайты [31, 32, 33] посвященные золотому сечению.
По глубокому убеждению автора, живая природа построена на простых принципах и может быть описана элементарными моделями. В этой статье автор сделает попытку системного анализа феномена золотого сечения и выскажет несколько предположений, позволяющих объяснить всеобщий характер золотой пропорции.

 
 
2. Золотое сечение

Золотое сечение (золотая пропорция) - это закон пропорциональной связи целого и составляющих его частей.
Классический пример золотого сечения – задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении [6], когда целое так относится к большей своей части, как большая часть к меньшей (рис 1):

Золотое сечение

Рис. 1

Решение задачи сводится к уравнению X^2+X-1=0,

одно из решений которого равно = 0.6180339..,                (1)

обратная величина которого обычно обозначается как α ==1.6180339..,
называемое основанием золотой пропорции.

Число α обладает уникальными математическими свойствами. Это единственное число, кроме нуля, удовлетворяющее рекуррентному соотношению:

               (2)

Основание золотой пропорции обладает одновременно свойствами аддитивности и мультипликативности.
Весь окружающий мир можно разделить с точки зрения формообразования на две группы - то, что создано руками человека и то, что мы называем природой.

 
 
3. Золотая пропорция в произведениях человека

Наличие золотой пропорции в формах объектов, созданных человечеством можно объяснить на основе анализа следующих исследований:
— Опыты Фехнера [22], в которых испытуемым было предложено выбрать самый "красивый" прямоугольник из серии от квадрата до двойного квадрата. Подавляющее большинство указало на прямоугольник с отношением сторон α. Это объясняется строением глазного дна человека. Поле ясного зрения имеет форму эллипса, оси которого относятся как α [13], поэтому предметы, в форме которых содержится золотая пропорция, воспринимаются «благоприятно». Не напрасно всеми нами любимые экраны TV и кредитные карточки имеют соотношение длины и ширины равное золотой пропорции [34].
— А.А.Соколов и Я.А.Соколов, в статье "Математические закономерности электрических колебаний мозга" [23], показали, что соотношение частот волн (ритмов) электрических колебаний мозга равно золотой пропорции.
— В статье И.А.Рыбина "Психофизика: поиск новых подходов" [35] на основании экспериментальных данных показано, что число α - инвариант психофизических законов, описывающих сенсорные восприятия человека.
— В исследованиях Цейзинга [36], Хембиджа [4], Дочи [18], Петухова [17], Шапаренко [37 ] показано наличие золотой пропорции в отношении частей тела человека (рис 2), в частности руки.

Можно сказать, что человек всегда имеет эталон золотой пропорции "под рукой"

Рис. 2

Можно сказать, что человек всегда имеет эталон золотой пропорции "под рукой".

Предположение 1

В произведениях человека (архитектурные сооружения, предметы искусства и быта) золотое сечение является отображением окружающего мира через цепочку глаз-мозг-рука.

Каждый из элементов этой цепочки содержит золотую пропорцию в своей внутренней структуре. В процессе созидания происходит трехкратный "резонанс" золотого сечения по цепочке глаз-мозг-рука. Очевидно, в результате будет создан объект содержащий золотую пропорцию.


4. Самоподобность и асимметрия

Предположение 2

В основе организации живой материи лежат принципы устойчивости, самоорганизации и саморегулирования. В формообразовании эти принципы проявляются как самоподобность. Самоподобность, мы будем понимать, как некоторую рекурсивную процедуру, порождающую связанную систему объектов.
Ярким примером таких систем являются фракталы [38], получаемые как рекурсивные геометрические преобразования. Многие объекты живой природы имеют ярко выраженную фрактальную структуру. Например: деревья, морская капуста, легкие и кровеносные сосуды человека, и другие.

Рассмотрим геометрическую аналогию самоподобности – «динамический» прямоугольник с отношением сторон равным α. Самоподобность выражается в том, что присоединяя к большей стороне «динамического» прямоугольника ABCD (рис 3) квадрат DCFE со стороной, равной этой стороне, получим прямоугольник ABFE , подобный первоначальному. Аналогично, если отсечь от «динамического» прямоугольника ABCD квадрат AMND , то получим прямоугольник MBCN подобный «динамическому».

Нетрудно доказать, что «динамический» прямоугольник может иметь соотношение сторон только равное α.

Динамический» прямоугольник
Рис. 3

Операцию отсечения или добавления квадрата можно производить многократно, и в результате всегда будет получаться прямоугольник с соотношением сторон равным α. «Динамический» прямоугольник также называют «живым». Присоединяя к "живому" прямоугольнику "неживую" фигуру квадрат, получим опять "живую". Это аналогия экспансии биологической жизни на окружающее пространство.
Эта модель содержит в себе не только самоподобность, но и асимметрию. Под асимметрией, мы будем понимать не отсутствие симметрии, а некоторое нарушение ее.
В квадрате, симметричной фигуре, все стороны равны, а в «динамическом» прямоугольнике стороны равны лишь попарно.
По мнению основателя синергетики Г. Хагена [27], появление асимметрии вызывает понижение степени симметрии пространства, которое является необходимым условием самоорганизации, что приводит к появлению внутренних сил, являющихся основой саморегуляции.
Так, «неживая» фигура квадрат имеет 4 оси симметрии, а “динамический” прямоугольник только две.
 
 


5. Пентагональная симметрия и асимметрия

Правильный пятиугольник
Рис. 4
Если рассмотреть правильный пятиугольник (рис. 4), то увидим, что он буквально "заполнен" золотым сечением, так:

Углы ABF, AFD и AED равны 108° или , а углы ADF, AFB, BFC равны 36° или , при этом:

             
 (3)

Пентагональная симметрия встречается только в живой природе и является отличительной чертой саморегулирующихся систем. Тогда как в кристаллах – «неживых структурах», согласно классической кристаллографии, возможны симметрии третьего, четвертого и шестого порядков [39]. В отличии от классических кристаллов, квазикристаллы 5-го порядка, открытые Дэном Шехтманом являются "пограничными" объектами на стыке "живого" и "неживого". Чем глубже мы будем понимать разницу между "живым" и "неживым", тем больше мы будем находить "пограничных" объектов. Из всех правильных фигур только пятиугольником нельзя заполнить плоскость. То есть, из них нельзя выложить паркет. Нужно отметить, что в поперечном сечении двойная спираль ДНК - правильный пятиугольник [40, 41].

Предположение 3

Золотое сечение на прямой и пентагональная симметрия на плоскости являются отображением внутренней асимметрии самоподобных систем.

 
 
6. Числа фибоначчи, рекурсия и золотое сечение

В математике хорошо известна последовательность чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,..., называемая числами Фибоначчи и образуемая по рекуррентной формуле:
                (4)
где n - натуральное число и начальные члены равны 1 и 1.

Ярким примером проявления чисел Фибоначчи в живой природе является филлотаксис [19].Французский математик Бине показал, как связаны числа Фибоначчи и основание золотой пропорции:
              
(5)
Эта формула интересна тем, что справа находятся иррациональные числа
α и , а слева всегда целое. Нужно отметить асимметричность знаменателя правой части формулы 5. Из последней формулы легко получить следующее соотношение :
              
(6)
которое вместе с формулами 2, 4 и 5 показывает глубокую связь между числами Фибоначчи и основанием золотой пропорции. В формулах 1, 3, 5 можно заметить почти «мистическое» присутствие числа 5.
Если в рекурсивной последовательности образуемой по формуле 4, задать произвольные начальные члены, то предел отношения двух соседних членов этого ряда все равно будет стремиться к α (формула 6). Даже некоторое количество арифметических ошибок в вычислении φi при 1<i<<n, не повлияют на этот результат.
Основание золотой пропорции является инвариантом рекурсивных соотношений 4 и 6. В этом проявляется «устойчивость» золотого сечения, одного из принципов организации живой материи
(см. Предположение 2).

Так же, основание золотой пропорции является решением двух экзотических рекурсивных последовательностей

Присутствие золотой пропорции и чисел Фибоначчи в живой природе позволяют говорить о некотором едином механизме их возникновения.

Предположение 4

Числа Фибоначчи и золотое сечение являются математическим описанием некоторого формообразующего процесса. На микроуровне (целочисленном) количественная характеристика этого процесса проявляется как числа Фибоначчи, а на макроуровне (статистическом) как основание золотой пропорции - число α.
Если такой формообразующий процесс является законом живой природы, то с его помощью можно объяснить наличие золотой пропорции в соотношении частей тела человека и животных, а также явление филлотаксиса.

 
 
7. Асинхронное деление клеток

В биологии существует понятие, называемое асинхронным делением (дроблением). В монографии К.Г. Газаряна и Л.В. Белоусова "Биология индивидуального развития животных" [42] автор нашел: "Начиная с 11-го деления, дробление становится повсеместно асинхронным", там же, "В яйцах многих групп животных - круглых червей, некоторых моллюсков, млекопитающих - периода синхронных делений нет: начиная со 2-го деления, дробление идет асинхронно".

Предположение 5

При асинхронном делении каждая клетка делится на две клетки, одна из которых пропускает следующий такт деления. Для краткости, такой формообразующий процесс будем называть F-делением.

Рассмотрим количественные характеристики F-деления. После определенного количества синхронных делений происходят исключительно F-деления. Так после первого такта F-деления образуются две клетки А и В (рис 5), из которых только В будет делиться во втором такте. После двух тактов F-деления образуются три клетки, из которых только две будут делиться в третьем такте. После третьего такта суммарное количество клеток станет равным пяти, из которых три будут делиться в четвертом такте F-деления и т.д. Следовательно, в процессе F-деления из одной клетки будет образовываться 2,3,5,8,13,21,.. клеток.
Количественные характеристики F-деления
Рис. 5

Гипотеза о F-делении клеток позволяет объяснить наличие золотой пропорции в результатах исследований из раздела 3, сердечных ритмах человека [43, 44], а также в линейных размерах тела человека, например руки (Рис. 2).
Пусть на определенном этапе развития зародыша, после периода синхронных делений, выделится одна клетка из которой будет развиваться рука. После первого F-деления образуются две клетки А и В (рис 5). Клетка А пропустит следующий такт деления, следовательно, ее потомков будет в ? раз меньше клеток потомков В. Действительно, как видно из рисунка 1 отношение длины кисти и локтя к предплечью есть золотое сечение. Принимая длину, пропорциональной количеству клеток, получаем, что из клетки А будет развиваться предплечье, а из В кисть и локоть. Аналогично после деления В, из образовавшихся дочерних клеток, будут развиваться локоть и кисть, и т.д. до фаланг пальцев на руке.
Граф на рисунке 5 не является оригинальным, похожие рисунки можно увидеть при решении задач о росте деревьев, размножении кроликов и пчел [45], а также на предложенной британским эмбриологом C. H. Waddington [46] схеме прогрессивного назначения эмбриональных клеток.

Нетрудно заметить, что Граф на рисунке 5 является фрактальной структурой.

 
 

8. Морфогенетическое поле и асимметрия

Предположение 6

Совокупность клеток зародыша образует морфогенетическое поле.
Необходимость существования морфогенетического поля доказал физик и биолог Б.Н.Белинцев [47].
Потенциал клетки в морфогенетическом поле эмбриона определяется ее положением относительно других клеток. В зависимости от этого потенциала активизируется определенный участок ДНК.

Предположение 7

Уникальный потенциал клетки в морфогенетическом поле эмбриона является запускающим механизмом считывания генетической программы.
В результате выполнения этой программы происходит дифференциация клеток эмбриона на различные ткани и части тела

Предположение 8

Асимметричность F-деления позволяет каждой клетке зародыша обладать уникальным потенциалом в морфогенетическом поле.
Гипотеза о F-делении описывает наиболее общий алгоритм развития организма и дает объяснение устойчивому присутствию золотой пропорции в морфологических процессах живой природы.

 
 

9. Асинхронность, асимметрия и диалектика

Предположение 9

Асинхронность есть выражение асимметричности во времени.
При F-делении происходит уменьшение количества осей симметрии образующейся совокупности клеток, что является необходимым условием самоорганизации по Хагену [27].

Предположение 10

Асимметричность морфологических процессов является источником внутреннего противоречия, необходимым условием возникновения и существования самоорганизующихся систем.
В F-делении клеток с одной стороны, присутствует симметрия - каждая клетка делится на две, с другой стороны, после деления клетки не равноправны - асимметрия.
Симметрия и асимметрия являются диалектическими противоположностями.

Предположение 11

Диалектическое противоречие между симметрией и асимметрией является движущей силой саморегуляции.
Гегель писал: «Противоречие - корень всего движения и живучести» [48]. Перефразируя известный философский закон «О Единстве Противоположностей», получим закон «О Единстве Симметрии и Асимметрии».
Белорусский философ Э.М.Сороко высказал предположение, что «сочетание симметрии и асимметрии в определенной пропорции и есть гармония» [26].

 
 

10. Морфологические процессы и асимметрия

Предположение 12

Асимметричность морфологических процессов есть фундаментальный закон живой материи, а числа Фибоначчи, золотое сечение и пентагональная симметрия его количественное отображение.
Приведенные выше предположения дают возможность качественно нового подхода к изучению живой материи.
Становится возможным построение реальных математических моделей живых организмов и всевозможных самоорганизующихся систем.

 
 
Boris Rozin © 2003
 
 
 
 

Литература

  1. Мессель Э. Пропорции в античности и в средние века.-М., 1936.

  2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искустве.-М., 1936.

  3. Корбюзье Л. Модулор.-М,. 1976.

  4. Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.-М,. 1936.

  5. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

  6. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи.-М., 1984.

  7. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения.-М., "Наука",1979.

  8. Dubner H.,  Keller W. "New Fibonacci and Lucas primes," Math. Comp., 68:225 (1999) 417--427, S1--S12.  MR 99c

  9. Proportions in Music //Fibonacci Quarterly vol 2 (1964) pages 219-222

  10. Howat R. Debussy in Proportion : A Musical Analysis

  11. evolutionoftruth.com/goldensection/music.htm   

  12. Лосев А.Ф. Эстетика Возрожденния.-М., 1978.

  13. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.-К., 1986.

  14. Мещеряков В.Т. Гармония и гармоническое отношение.-Л., 1976.

  15. Петрович Д. Теоректики пропорций.-М., 1979.

  16. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория.-М,. 1973.

  17. Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия.-М., 1984.

  18. Doczi G. The power of limite. Proportional harmonies in nature, art and architecture.-London, 1981.

  19. www.math.smith.edu/~phyllo/index.html  

  20. Frost A.J., Prechter R.R. Jr. Elliot Wave Principle: Key to Stock Market Profits. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1985.

  21. Fisher R. Fibonacci Applications and Strategies for Traders, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1993.

  22. Fechner G. T. Vorschule der Aesthetik. Breitkopf & Huartel, Lipsia, 1876.

  23. Соколов А.А., Соколов Я.А. Математические закономерности электрических колебаний мозга.-М., 1977.

  24. Prechter R R. The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics. New Classics Library, Gainseville, Georgia, 1999.

  25. Стахов А.П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.

  26. Сороко Э.М. Структурная гармония систем.-Минск, 1984.

  27. Хаген Г. Синергетика.-М., 1980.

  28. Степанов И. Н. Формы в мире почв. - М., Наука. 1986

  29. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. Москва, Изд-во "Молодая Гвардия", 1990 г.

  30. evolutionoftruth.com/abennett

  31. www.goldenmuseum.com/

  32. www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott

  33. goldennumber.net/

  34. goldennumber.net/creditcard.htm

  35. Рыбин И.А. "Психофизика: поиск новых подходов"//Природа  2, 1992.

  36. Zeising A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers. Leipzig, 1854..

  37. Шапаренко П.Ф. Принцип пропорциональности в соматогенезе.-Винница, 1994.

  38. Mandelbrot B. The Fractal Gometry of Nature / Benoit B. Mandelbrot.San Francisco : W.H. Freeman, 1982.

  39. Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.

  40. milan.milanovic.org/math/english/golden/golden2.html

  41. goldennumber.net/dna.htm

  42. Газарян К.Г., Белоусов Л.В. Биология индивидуального развития животных.-М., 1983

  43. www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-6-html/CVETKOV-1/cvetkov-1.html

  44. Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.

  45. www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html 

  46. Harris A. K., ‘‘Multicellular Mechanics in the Creation of Anatomical Structures,’’ Biomechanics of Active Movement and Division of Cells, N. Akkas, ed., Springer-Verlag,  1994 pp. 87–129

  47. Белинцев Б.Н. Физические основы биологического формообразования.-М., 1991.

  48. Hegel's science of logic / translated by A.V. Miller ; foreword by J.N. Findlay. Wissenschaft der Logik. English Atlantic Highlands, NJ : Humanities Press International, 1989

 
 
ПОСЛЕСЛОВИЕ АВТОРА

Воображаемый диалог между заинтересованным читателем и автором.

ЧИТАТЕЛЬ
А, в чем состоит «тайна» золотого сечения ?

АВТОР
Золотое сечение является одним из проявлений асимметрии живой природы. Вместе с числами фибоначчи оно является одной из ступеней пирамиды формообразования. А на вершине этой пирамиды находится еще более загадочное число, но это тема моей будущей книги.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
На основе известных данных вы делаете необычные выводы, объясняя разнообразные явления с помощью принципа асимметрии.

АВТОР
По моему глубокому убеждению живая природа построена на очень простых и универсальных законах. И если мы до определенного момента не осмыслили их, то это наша вина, а не природы.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
Гипотеза о F-делении клеток выглядит не реальной. Если бы деление клеток происходило по фибоначчиевому алгоритму, это было бы уже давно известно.

АВТОР
Действительно, эта идея кажется интригующей, однако я не нашел ни одного количественного описания асинхронного деления. Теперь, когда биологи знают, что нужно искать, мы скоро получим независимые подтверждения.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
Не кажется ли вам, что идеи в статье изложены очень кратко и читателю тяжело быстро перескакивать от математики к биологии и дальше к философии?

АВТОР
Я сознательно ограничил объем статьи так, чтобы читатель обязательно прочитал ее до конца. Сейчас я пишу книгу, в которой проведу широкий анализ источников и детальное обоснование сделанных в статье предположений.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
А как насчет стиля будущей книги? Статья написана несколько сухим стилем.

АВТОР
Я стараюсь писать книгу так, что бы она была интересна широкому кругу читателей, и в то же время оставалась научным трудом.
-------------
ЧИТАТЕЛЬ
В будущей книге вы ограничитесь идеями изложенными в этой статье?

АВТОР
У меня есть идеи не вошедшие в статью по различным причинам. Это :

- гиперболические фибоначчиевые функции,

- синусообразные функции золотого сечения,

- пентагональная симметрии в теле человека

- что является главным и последним пунктом цепочки формообразующего процесса
числа фибоначчи -> золотое сечение -> ???

- и почему золотое сечение является оптимальным кодом живой природы
http://www.goldensection.net/gs_r.htm

 
   
темы|понятия|род занятий|открытия|произведения|изобретения|явления
вид творчества|события|биографии|портреты|образовательный каталог|поиск в энциклопедии
Copyright © 2004 abc-people.com
Design and conception BeStudio © 2005-2016